广义地说,悖论即荒谬的、违背常理的言论。 但是逻辑中所说的悖论即逻辑悖论有其特定的含义,下面列举几种观点:
《美国哲学百科全书》的说法:
(逻辑)悖论“是由两个相反的(甚至是矛盾的)命题组成的,而这两个命题又是由一些表面上合理的论据所产生的。这些论据之所以是合理的,是因为在另一种意义上使用它们时,似乎并没有引起什么困难。 只是在发生悖论的特定组合中,这些论据才导致讨厌的结论。 悖论以其典型的形态存在于两个貌似等价的命题中,其中一个命题是另一个命题的否定。 如果对于某个命题A,有
AD~A
这本身就完全导致~A的证明,根据命题演算的正确规律:
(AD~A)D~A
如果我们又有
~ADA
这就确定A。因此,根据
A=~A
我们就得到A和~A。 悖论的这种典型形态有时称为自相矛盾。"
这是对悖论的一种描述,显得有点哕唆,但比较准确。 值得注意的是,它指出悖论包含"表面上合理的论据"它们在“另一种意义上使用"时未引起困难,而在“特定组合"中才“导致讨厌的结论"。 这实际上指出了悖论的推理并不具有完全的逻辑普遍性,亦即,并非真正的合乎逻辑。
《中国大百科全书》的定义是,悖论是“自相矛盾的命题,即如果承认这个命题,就可推出它的否定。反之,如果承认这个命题的否定,又可推出这个命题。"
《辞海》对“悖论"的解释与《中国大百科全书》上的定义相类似:“逻辑学名词。一命题B,如果承认B,可推得一B(非B),如果承认一B,又可推得B,称命题B为一悖论。
它们把悖论说成是命题,是不准确的,但是它们实际上也指出了悖论必须包含引起自相矛盾的推理。 自相矛盾的命题,如果没有经过似乎合乎逻辑的推理的证明,就是被逻辑排斥的谬误,而不是引起我们困惑的悖论。 悖论之所以引起我们困惑,成为我们要努力消解的对象,就是因为它似乎经过了合乎逻辑的推理证明。
赛因斯伯里(Sainsbury)认为悖论是“从明显可接受的前提通过明显可接受的推理导出了一个明显不可接受的结论。"
张家龙认为: "悖论是某些知识领域中的一种论证,从对某概念的定义或一个基本语句(或命题)出发,在有关领域的一些合理假定之下,按照有效的逻辑推理规则,推出一对自相矛盾的语句或两个互相矛盾的语句的等价式。
张建军认为: “悖论是指这样一种理论事实或状况,在某些公认正确的背景知识之下,可以合乎逻辑地建立两个矛盾命题相互推出的矛盾等价式。"
还有一些说法,大同小异,可参相关资料,此处不赘。
比较而言,张家龙和张建军的说法较为精确,而其他的观点则比较广义、宏观。 它们各有其长处:宏观的说法能使我们更容易抓住问题的实质,而较为精确的说法则有利于我们去寻找破解悖论的具体途径。
上述看法的共同缺点,在于没有明确指出悖论的推理或论证中包含的“合理假定"(或“公认正确的背景知识")与“合乎逻辑”(或“按照有效的逻辑推理规则" )都只是表面的、伪似的。 亦即,悖论所包含的前提或背景知识并非真正的“合理"或“公认正确”,悖论推理也并非真正的“合乎逻辑"或合乎“有效的逻辑推理规则"。
换言之,悖论推理的前提或推理过程中一定包含逻辑错误,只是我们暂时还没有发现而已。
由于对悖论的理解不同,发生了关于悖论是否存在的争论:
一些学者认为,悖论实际上是不存在的,另一些学者则认为悖论是存在的。笔者以为,如果认为悖论的前提和推理都没有问题,真正地“合理、正确"与“合乎逻辑",但是却能推出自相矛盾的结论,这样的悖论确实是不存在的一一由确实正确的前提与真正合乎逻辑的推理是不可能推出自相矛盾的结论来的。 实际上,上述定义的作者也并不是这种看法,他们的定义中也隐含了对悖论前提是否正确和推理是否合乎逻辑的怀疑,只是没有明确指出而已。 赛因斯伯里说的:“从明显可接受的前提通过明显可接受的推理导出了一个明显不可接受的结论",其实就意味着其“明显"是存在问题的。
笔者曾经指出,悖论是指这样一种情况: "从表面上正确的前提出发,经过似乎合乎逻辑的推理,却得到了自相矛盾的结论。 "这也属于一种宏观的定义,其特点是强调了推出悖论的前提是"表面"上正确,而推理是“似乎"合乎逻辑。 这也就是说,上面对悖论的看法中所谓“明显可接受的前提"“明显可接受的推理”、 “某些公认正确的背景知识"、 “合乎逻辑地建立"的“有关领域的一些合理假定”、“有效的逻辑推理规则"等,其实都是有问题的。 这样定义的"悖论" ,当然是存在的,是我们要研究和力图破解的对象。
既然悖论是由 “表面上正确的前提"和“似乎合乎逻辑的推理"而得出来的,那么,解析悖论实际上有两条路径:
一条是发现作为前提的悖论语句本身有问题,它包含成问题的、模糊的、错误的概念或前提;另一条是发现我们推出悖论性结论的推理过程甚至逻辑规则存在错误或局限性。 只要我们澄清了作为前提的悖论语句中包含的模糊和错误,或者适当修正推理的逻辑步骤或逻辑规则,原先能够推出矛盾而又似乎合乎逻辑的悖论式推理就不可能存在了。
解析悖论,实际上就是要指出,在悖论的形成过程中,其推理的前提、过程或规则存在问题,并非真正、完全地“合乎逻辑”、“有效”、“正确”和“可接受"·,并找出那些表面上正确的前提和推理中实际存在着的错误。 这样就可以改进我们的思维逻辑,避免推理错误从而避免逻辑悖论。
悖论是从似乎合理的前提推出了不合理的结论即自相矛盾,所以悖论是推理或论证,而不是单纯的矛盾命题或语句。单纯自相矛盾的语句或命题不是悖论,而是逻辑所不允许的谬误。 只有当矛盾语句是在似乎合理的前提下,以似乎合乎逻辑的方式被推理出或被“证明"的时候,才是悖论。
应当强调指出,悖论的产生并不完全是由于我们的推理发生了违背现有的逻辑理论或规则的错误,而可能是因为现有的逻辑理论或逻辑规则本身有其局限性,存在着导致错误的必然性。 所以,即使我们的前提和推理是完全符合现有的逻辑规则的,悖论仍然有可能发生。 研究悖论的重要意义之一就在于,它可以帮助我们认识到我们现有的逻辑理论或逻辑规则存在着哪些局限性,从而改进和完善我们的逻辑理论和思维方法。