德国数学家康托尔在19世纪末期提出了著名的“集合论”。虽然集合论在刚提出时,遭到了不少学者的激烈抨击;但不久之后,这个开创性成果就被许多数学家接受。
数学家们对“集合论”推崇备至,因为他们发现,只要从自然数和康托尔的“集合论”出发,就能构建起整个数学理论大厦。于是,学术界把“集合论”尊为现代数学的基石。数学家们满心欢喜地认为:“一切数学成果都能够建立在集合论的基础上。”
但是19世纪的英国数学家、哲学家、逻辑学家罗素提出了不同看法。他认为,“集合论”存在一个不小的漏洞。为了证明自己的观点,罗素认真研究了逻辑悖论。
德国逻辑学家弗雷格很郁闷——当他把多年研究的关于“集合论”的学术意见完稿付印时,突然收到了罗素的一封信。信中提到了一个逻辑悖论。弗雷格看完信之后,发现自己多年的研究成果被这个悖论搅得根基动摇。于是他在书稿结尾处表示:一个科学家最倒霉的事,莫过于是在研究准备结束时发现研究的基础崩溃了。这个让弗雷格望洋兴叹的悖论,就是著名的理发师悖论。
理发师悖论
如今存在很多无解的悖论问题,最著名的当属罗素讲述的“理发师悖论”。
一位男理发师的理发技术非常高超,城里的人都愿意找他整理自己的头发。一天,这位男理发师挂出一个招牌,上面写着:通告,城里任何不喜欢自己刮脸的男士,都选择让我代劳,这是我的荣幸,以后我只为这部分人刮脸。
看完通告后,人们不禁会想:理发师的脸应该交给谁处理呢?
如果理发师是自己给自己刮脸,那么他自然就得归属到自己刮脸的这类人群中。
但是,他挂出的招牌上“白纸黑字”地写着他只为不给自己刮脸的这类人刮脸,所以他不可以自己刮自己的脸。
如果他请别人为他刮脸,那么他就属于不喜欢自己刮脸的人。他的招牌上写着城里任何不喜欢自己刮脸的人都会找他代劳。
因此依照这位理发师挂出的通告,那么任何人都不能为他刮脸。结果就是,这位理发师的脸将一直保持无人“修理”的状态。
伯特纳德·罗素之所以会提出这一悖论问题,目的就是将他发现的关于集合上的悖论问题通俗地表达出来。某些集合从表面上看属于自身元素。例如,任何不属于苹果元素的集合,并且自身也不是苹果,但它必然是这个集合自身元素中的一种。现在我们来研究一个不使用自身元素组成的集合。这个集合内拥有本身元素吗?无论我们做出怎样的回答,结果都是自相矛盾的。
苏格拉底曾经对自己的学生这样说道:“我仅明白一件事情,那就是我什么都还没弄明白。”
显然,这属于一个悖论,我们无从得知苏格拉底是否知道这件事情。古代中国也有出现过这样的案例。
墨子的“言尽悖”说
《墨子》中这样写道:“以言为尽悖,悖,说在其言”。两者讲的都是可以从一句话的真推理出假,但反过来则不行。所以,这些推理都不可能建立起等价的矛盾关系。现在很多学者将其命名为“半截子悖论”。
逻辑悖论还有一种比较鲜明的表现形式:在相同知识基础上,有逻辑地推出是,再有逻辑地推出非。然后通过归谬推理,便可以顺利找出是与非之间的矛盾。
除此之外,如果还要分析说谎者悖论,必须具备以下两个条件:
(1)语言上的封闭性。
(2)经典逻辑“多数情况下,逻辑定律都是有效的”。
逻辑悖论的具体含义就是可能出现这种情况,在正确的知识背景下,可以通过逻辑推理得出两个矛盾语句互推的矛盾等价式。
而关于逻辑悖论中“理论事实或状况”的内涵包括:其一,悖论不可能在纯客观世界独立存在,但可以存在于人类已知的知识框架之下;其二,悖论属于系统性事物,无论悖论有多么简单,它都是通过逻辑从共同知识背景之中推导出来的,而孤立语句都不可能形成悖论。
找出逻辑中存在的悖论问题,是哲学家的一项功绩。在推理中,很多时候人们都会根据事实对矛盾进行具体分析,寻找悖论,通过这种方式找出根本问题,可以帮助人们在科学研究中做出重大突破。悖论属于十分特殊的逻辑矛盾,而逻辑矛盾又不被各种科学理论所接受,所以,如果逻辑悖论在理论中被发现,那么就会成为该理论的“逻辑证伪”。而因为悖论属于特殊逻辑矛盾,所以逻辑证伪的可信度要高于其他性质的证伪。悖论所提出的,基本都是理论的概念和原理等根本性问题,内蕴其他科学问题不具备的超强能量。
尽管悖论与辩证矛盾存在很大的不同,但我们在解析悖论时,可以认识到平常情况下难以发现的逻辑矛盾背后隐藏着的真实对立,然后通过了解对立统一的含义,在认知上达到新的高度。辩证哲学在逻辑悖论研究过程中发挥出了重要作用,而辩证思维方法论同样可以在逻辑悖论研究过程中发挥重要作用。在这种情况下,辩证哲学与辩证思维方法论也可以在原有基础上做出突破与发展。