某村庄只有一名巡警，他要负责整个村的治安。小村的两头住着两个全村最富有的村民A和B，A、B分别需要保护的财产为2万元、1万元。一天来了个小偷，要在村中偷盗A和B的财产，这个消息被巡警得知。这个博弈的标准型如图1-1所示，该博弈不存在纯策略均衡。
图1-1 警察与小偷博弈
在博弈论中，可以选择出具体行动的纳什均衡，这叫做纯策略纳什均衡博弈。凡是用到概率（并且概率不能为0和1，否则就退化为纯策略，可以想见，纯策略的纳什均衡只是博弈的一种特例）的纳什均衡为混合策略博弈。所谓纯策略，更严格地说是指参与者在他的策略空间（策略集）中选取唯一确定的策略，但至少存在一个混合策略均衡点。所谓混合策略是指参与者采取的不是唯一的策略，而是其策略空间上的概率分布。这就是纳什于1950年证明了的纳什定理。而这个博弈没有纯策略纳什均衡点，而有混合策略均衡点。这个混合策略均衡点下的策略选择是每个参与者的混合策略选择。由此可见，纯策略是参与者一次性选取的，并且坚持他选取的策略。而混合策略是参与者在各种备选策略中采取随机方式选取的。根据这个定义，最终博弈者做出的选择必然只能是一个纯策略，混合策略的分析仅仅是我们对博弈者的一种理论分析。
混合策略均衡无法通过划线法或箭头法解决。我们不妨假设巡警选择保护A的概率为q，保护B的概率为1-q；小偷偷窃A的概率为p，偷窃B的概率为1-p，如图1-2所示。
图1-2 警察与小偷博弈标准型
当巡警选择保护A和B的期望值相等，同时小偷偷窃A和B的期望值相等时，达到混合策略均衡。7p−5=1−2p，p=6/9=2/3，1−p=1/3，同理可以求得q=2/3，1−q=1/3。此时，巡警与小偷的期望收益均为−1/3。
巡警保护A的期望值为p×2−5（1−p）=7p−5；巡警保护B的期望值为−p+（1−p）=1−2p。
当小偷p<2/3，1−p>1/3，比如p=1/2时，
巡警保护A的期望值为p×2−5（1−p）=7p−5=−1.5
巡警保护B的期望值为−p+（1−p）=1−2p=0
在这种情况下，巡警保护A的概率只要超过2/3，巡警的收益就比较大。当巡警保护A的概率为1，也就是只保护A时，巡警的期望收益最大为0，超过均衡时的期望收益−1/3。
当巡警q<2/3，1−q>1/3，比如q=1/2时，
小偷偷窃A的期望值为−q+（1−p）=1−2q=0
小偷偷窃B的期望值为2q−5（1−q）=7q−5=−1.5
在这种情况下，小偷偷窃A的概率只要超过2/3，小偷的损失就比较小。
当小偷偷窃A的概率为1，也就是只偷窃A时，小偷期望收益为0，超过均衡时的期望收益−1/3。
当巡警q<2/3，1−q>1/3，比如q=1/2时，此时巡警必然了解到自己的收益变小，因此会调整自己的概率q数值，一直到2/3。
当小偷p<2/3，1−p>1/3，比如p=1/2时，小偷必然了解到自己的收益变小，因此会调整自己的概率q数值，一直到2/3。
由此可见，当巡警选择保护A和B的期望值相等也就是巡警有2/3的概率去保护A，同时小偷偷窃A和B的期望值相等，即2/3的概率去偷窃A时达到混合策略均衡时，博弈中的任何一方改变选择行动的概率后，都会使得收益减小或损失增加。这也正符合纳什均衡的定义，因此混合策略均衡也是一种纳什均衡。
讲到这里，我们又碰到了一个问题。如果你是小偷，也只有一次偷窃机会，到底应该偷窃A还是B呢？或者你是巡警，也只有做出一次选择决策，那么究竟应该保护A还是B？在这个例子，显然选择的是A。
如果我们将这个例子稍做修改，将A和B的财富设置为相等，可以求得p=q=1/2。这样，我们就会陷入一个逻辑陷阱。警察与小偷都将像“布里丹的驴”这个寓言故事中的毛驴一样无从选择。这个故事是讲，有一头十分聪明的毛驴像理性人一样完全依据逻辑分析来做出决策。现在在它的面前放有两堆完全相同的草料，这头毛驴应该选择先吃那一堆草料呢？从纯粹理性的角度看，由于两队草料完全相同，毛驴选择任意一堆草料的概率为1/2。如果必须要做出一个选择的话，这头驴将会活活饿死在犹豫不决之中。这是因为它没有任何理由选择出进食的顺序。
对于这个问题，物理学家尼尔斯·玻尔给出了一个不算十分完美的答案。既然两堆草料完全相同，毛驴凭什么选择先吃其中一堆草而后吃另一堆草。尼尔斯·玻尔假设毛驴具有自主性，可以完全不依照机械的逻辑分析来选择先吃其中一堆草，而这种选择完全是任意的或真正随机的。不需要任何因果决定关系，这样驴子才可能避免被活活饿死。比如说毛驴可以通过抛掷硬币来随机地决定先吃哪一堆草料。如果按照这种方式，巡警与小偷的选择也由“上帝所掷的骰子”所决定，换而言之就是博弈者可以在无差异的纯战略中随机选择其中之一。
